Help
Options
Didn't know it?
click below
click below
Knew it?
click below
click below
Don't Know
Remaining cards (0)
Know
retry
shuffle
restart
0:00
Embed Code - If you would like this activity on your web page, copy the script below and paste it into your web page.
Normal Size Small Size show me how
Normal Size Small Size show me how
Теория вероятности и
Теория вероятности и статистика
| Question | Answer |
|---|---|
| События и операции | A U B - хотя бы одно; AB - оба вместе; not A - событие не произошло. AB=пусто - несовместные. |
| Свойства операций | A U B = B U A; AB = BA. Законы де Моргана: not(A U B) = not A ∩ not B; not(AB) = not A U not B. |
| Классическая вероятность | P(A) = m / n. n - число всех равновозможных исходов, m - число благоприятных исходов. |
| Статистическая вероятность | P(A) = lim(m / n) при n -> инф. На практике: относительная частота m/n в большой серии опытов. |
| Геометрическая вероятность | P(A) = мера(A) / мера(Ω). Используется, когда число исходов бесконечно (длина, площадь, объем). |
| Алгебра событий | Система подмножеств Ω, замкнутая относительно КОНЕЧНОГО числа операций (сумма, произведение, отрицание). |
| Сигма-алгебра событий | Алгебра событий, замкнутая относительно СЧЕТНОГО (бесконечного) числа операций. Фундамент аксиоматики. |
| Вероятностная мера | Числовая функция P(A) на сигма-алгебре. Свойства: P(A)>=0, P(Ω)=1, счетная аддитивность. |
| Вероятностное пространство | Тройка (Ω, F, P): пространство исходов Ω, сигма-алгебра F и вероятностная мера P. Модель опыта. |
| Аксиомы ТВ и следствия | 1) P(A)>=0; 2) P(Ω)=1; 3) Аддитивность. Следствия: P(not A)=1-P(A), P(A U B)=P(A)+P(B)-P(AB). |
| Условная вероятность | P(A|B) = P(AB) / P(B). Вероятность события A при условии, что событие B уже точно произошло. |
| Свойства условной вероятности | 0 <= P(A|B) <= 1; P(Ω|B) = 1. Теорема умножения: P(AB) = P(B) * P(A|B) = P(A) * P(B|A). |
| Независимость событий | A и B независимы, если P(A|B) = P(A). Математический критерий независимости: P(AB) = P(A) * P(B). |
| Свойства независимых событий | Если A и B независимы, то пары (not A и B), (A и not B), (not A и not B) тоже независимы. |
| Независимость в совокупности | Вероятность пересечения любых событий группы равна произведению их вероятностей. Сильнее попарной. |
| Полная вероятность | P(A) = Σ [P(H_i) * P(A|H_i)]. Гипотезы H_i образуют полную группу: несовместны и Σ P(H_i) = 1. |
| Формула Байеса | P(H_i|A) = [P(H_i) * P(A|H_i)] / P(A). Переоценка вероятностей гипотез H_i после того, как событие A произошло. |
| Испытания Бернулли | Серия независимых опытов с двумя исходами: "успех" (p) и "неуспех" (q = 1 - p). p и q постоянны. |
| Формула Бернулли | P_n(k) = C_n^k * p^k * q^(n-k). Вероятность получить ровно k успехов в n независимых испытаниях. |
| Локальная теорема Лапласа | P_n(k) ≈ phi(x) / sqrt(npq), где x = (k - np) / sqrt(npq). Применяется при больших n, если p не близко к 0 и 1. |
| Интегральная теорема Лапласа | P_n(k1 <= k <= k2) ≈ Ф(x2) - Ф(x1), где x = (k - np) / sqrt(npq). Вероятность k успехов в интервале [k1, k2]. |
| Формула Пуассона | P_n(k) ≈ (λ^k * e^-λ) / k!, где λ = n * p. Применяется, когда n очень велико, а p очень мало (λ < 10). |
| Наивероятнейшее число успехов | Число успехов k_0 с максимальной вероятностью. Ищется из: n*p - q <= k_0 <= n*p + p. |
| Случайная величина | Функция X = X(ω), которая каждому исходу ω из пространства Ω сопоставляет вещественное число. |
| Функция распределения СВ | F(x) = P(X < x). Вероятность того, что случайная величина X примет значение строго меньше x. |
| Свойства функции распределения | 0 <= F(x) <= 1; не убывает; непрерывна слева; F(-инф) = 0; F(+инф) = 1; P(a <= X < b) = F(b) - F(a). |
| Дискретная случайная величина | Принимает изолированные, пересчитываемые значения. Задается рядом распределения, где Σ p_i = 1. |
| Непрерывная случайная величина | Величина с непрерывной F(x). Вероятность принять конкретное точечное значение равна нулю: P(X = x) = 0. |
| Плотность распределения СВ | f(x) = F'(x). Существует только для непрерывных случайных величин. Производная от функции распределения. |
| Свойства плотности СВ | f(x) >= 0; Интеграл от -инф до +инф f(x)dx = 1 (нормировка); F(x) = интеграл от -инф до x f(t)dt. |
| Случайный вектор | Набор случайных величин (X, Y), рассматриваемых совместно на одном вероятностном пространстве. |
| Функция распределения вектора | F(x, y) = P(X < x, Y < y). Совместная вероятность выполнения двух неравенств для СВ X и Y. |
| Свойства F(x, y) | 0<=F<=1; не убывает по x и y; непрерывна слева; F(-инф,y)=0; F(+инф,+инф)=1; F(x,+инф)=F_X(x). |
| Плотность распределения вектора | f(x, y) = d^2 F(x,y) / (dx * dy). Смешанная частная производная 2-го порядка от совместной функции F(x, y). |
| Свойства плотности вектора | f(x,y)>=0; Двойной интеграл по всей плоскости равен 1; Плотность компоненты: f_X(x) = интеграл f(x,y)dy. |
| Условное распределение СВ | Закон распределения одной СВ из вектора при условии, что вторая СВ приняла строго фиксированное значение. |
| Условная плотность вектора | f(x|y) = f(x, y) / f_Y(y). Плотность распределения СВ X при условии, что СВ Y зафиксирована на значении y. |
| Независимость случайных величин | X и Y независимы, если F(x, y) = F_X(x) * F_Y(y). Для непрерывных: f(x, y) = f_X(x) * f_Y(y). |
| Математическое ожидание | Центр распределения. Для дискретной: M[X] = Σ x_i*p_i. Для непрерывной: M[X] = интеграл x*f(x)dx. |
| Свойства мат. ожиданий | M[C] = C; M[CX] = C * M[X]; M[X + Y] = M[X] + M[Y]; Для независимых: M[X * Y] = M[X] * M[Y]. |
| Дисперсия с.в. | Мера разброса вокруг матожидания. Определение: M[(X-M[X])^2]. Расчетная формула: D[X] = M[X^2] - (M[X])^2. |
| Свойства дисперсий с.в | D[C] = 0; D[CX] = C^2 * D[X]; Для независимых: D[X + Y] = D[X] + D[Y]; Дисперсия всегда неотрицательна: D[X] >= 0. |
| Среднее квадратическое отклонение | Сигма = sqrt(D[X]). Корень из дисперсии. Показывает разброс в исходных единицах измерения случайной величины. |
| Свойства СКО | Сигма >= 0; Сигма(C) = 0; Константа выносится по модулю: Сигма(CX) = |C| * Сигма(X). |
| Начальные моменты с.в | Матожидание случайной величины в степени k: alpha_k = M[X^k]. Первый начальный момент alpha_1 = M[X]. |
| Центральные моменты с.в. | Матожидание k-й степени отклонения от среднего: mu_k = M[(X - M[X])^k]. Второй центральный момент mu_2 = D[X]. |
| Связь начальных и центральных | mu_2 = alpha_2 - (alpha_1)^2; mu_3 = alpha_3 - 3*alpha_2*alpha_1 + 2*(alpha_1)^3. Из бинома Ньютона. |
| Коэффициент асимметрии | As = mu_3 / (Сигма^3). Мера скошенности распределения. Если As > 0, хвост графика сильнее вытянут вправо. |
| Коэффициент эксцесса | Ex = [mu_4 / (Сигма^4)] - 3. Мера островершинности графика по сравнению с нормальным распределением. |
| Мода | Mo. Для дискретной — самое вероятное значение. Для непрерывной — точка максимума плотности f(x). |
| Медиана | Me. Значение, делящее распределение пополам: F(Me) = 0.5. Для симметричных законов Mo = Me = M[X]. |
| Квантиль | Значение x_alpha, для которого F(x_alpha) = alpha. Ниже x_alpha величина оказывается с вероятностью alpha. |
| Ковариация | Cov(X,Y) = M[XY] - M[X]*M[Y]. Мера линейной зависимости двух СВ. Если X и Y независимы, то Cov(X,Y) = 0. |
| Свойства ковариации | Cov(X,Y) = Cov(Y,X); Cov(X,X) = D[X]; D[X + Y] = D[X] + D[Y] + 2*Cov(X,Y). |
| Корреляция | rho = Cov(X,Y) / (Сигма_X * Сигма_Y). Нормированный коэффициент линейной связи. Направление и сила связи. |
| Свойства корреляции | -1 <= rho <= 1. Если |rho| = 1 — связь строго линейная. Если rho = 0 — величины некоррелированы. |
| Условное мат.ожидание | M[X|Y=y]. Матожидание СВ X при фиксированном значении Y. Является случайной величиной (функцией от Y). |
| Свойства условного мат.ожидания | M[ M[X|Y] ] = M[X] (полное матожидание). Если X и Y независимы, то условное равно обычному: M[X|Y] = M[X]. |
Created by:
юра