Help
Options
Didn't know it?
click below
click below
Knew it?
click below
click below
Don't Know
Remaining cards (0)
Know
retry
shuffle
restart
0:00
Embed Code - If you would like this activity on your web page, copy the script below and paste it into your web page.
Normal Size Small Size show me how
Normal Size Small Size show me how
Stack #4597905
| Question | Answer |
|---|---|
| 1 σ-алгебра σ-алгебра | Определение. σ-алгебра F — множество подмножеств Ω, обладающее следующими свойствами: 1. Ω ∈F; 2. A ∈F ⇒¯A ∈F; 3. A1, A2, … , An, … ∈F ⇒⋃∞ i=1 Ai ∈F.[1] |
| 2 Борелевская σ-алгебра Борелевская σ-алгебра | Определение. Борелевская σ-алгебра B — наименьшая σ-алгебра, порождённая множеством всех открытых интервалов на R (иными словами, минимальная σ-алгебра, содержащая все открытые интервалы). Элемент B ∈B — борелевское множество.[1] |
| 3 Вероятностное пространство Вероятностное пространство | Определение. Вероятностное пространство — тройка (Ω, F, P), где: Ω — непустое множество элементарных исходов, F — σ-алгебра над Ω, P — вероятность, определённая на F.[1] |
| 4 Вероятность Вероятность | Определение. Вероятностная мера или вероятность — функция P : F →R, обладающая следующими свойствами: 1. P(A) ≥0 ∀A ∈F (неотрицательность); 2. P(Ω) = 1 (нормировка); 3. ∀A1, A2, … ∈F, ; AiAj = ∅; (i ≠j) : P (⋃∞ i=1 Ai) = ∑∞ i=1 P(Ai) (счётная аддитивность |
| 5 Свойства вероятности Свойства вероятности | 1. P(∅) = 0; 2. A, B ∈F, ; B ⊂A ⇒P(A) ≥P(B) (монотонность); 3. P(A ∖B) = P(A) −P(AB); 4. P(A ∪B) = P(A) + P(B) −P(AB); 5. ∀A1 ⊇A2 ⊇… , ; ⋂∞ n=1 An = A : limn→∞P(An) = P(A) (непрерывность).[1] |
| 6 Дискретное вероятностное пространство Дискретное вероятностное пространство | Определение. Вероятностное пространство называется дискретным, если Ω не более чем счетно.[1] |
| 7 Классическое определение вероятности Классическое определение вероятности | Определение. Классическое определение вероятности на дискретном вероятностном пространстве с конечным Ω: p1 = p2 = … = pn = 1/n, P(A) = k/n, k = |A|, т.е. все элементарные исходы считаются равновозможными. [1] |
| 8 Геометрическая вероятность Геометрическая вероятность | Определение. P(A) = μ(A)/μ(Ω) где μ — мера (длина, площадь, объём) множества. (0 < μ(Ω) < ∞), A - измеримое множество.[1] |
| 9 Условная вероятность Условная вероятность | Определение. Пусть задано вероятностное пространство (Ω, F, P), события A, B ∈F, P(B) > 0. Условная вероятность события A при событии B: P(A|B) = P(AB)/P(B). [1] |
| 10 Независимость двух событий Независимость двух событий | Определение. События A и B независимы, если: P(AB) = P(A) ⋅P(B).[1] |
| 11 Независимость трёх событий Независимость трёх событий | Определение. События A, B, C независимы в совокупности, если выполняются все равенства:[1] |
| 12 Независимость n событий Независимость n событий | Определение. События A1, … , An ∈F называются независимыми в совокупности, если ∀k = 2, … , n ∀i1, … , ik : 1 ≤i1 < i2 < … < ik ≤n выполняется: P ( k ⋂ j=1 Aij) = k ∏ j=1 P(Aij).[1] |
| 13 Критерий независимости событий Критерий независимости событий | Критерий. События A1, … , An независимы в совокупности ⇔ ∀δ1, δ2, … , δn ∈0, 1 выполнено равенство: P(AB) = P(A) ⋅P(B) P(AC) = P(A) ⋅P(C) P(BC) = P(B) ⋅P(C) P(ABC) = P(A) ⋅P(B) ⋅P(C) P ( n ⋂ i=1 A(δi) i ) = n ∏ i=1 P (A(δi) i ), где A(1) i = Ai, A(0) i = |
| 14 Формула полной вероятности Формула полной вероятности | Теорема. Пусть даны события A, B1, … , Bn, …; P(Bi) > 0, причём BiBj = ∅ (i ≠j) и ⋃∞ i=1 Bi ⊇A. Тогда справедлива формула: P(A) = ∞ ∑ i=1 P(Bi) ⋅P(A|Bi). [1] |
| 15 Формула Байеса Формула Байеса | Теорема. Пусть даны события A, H1, … , Hn, …; P(A) > 0, P(Hi) > 0, причём HiHj = ∅ (i ≠j) и ⋃∞ i=1 Hi ⊇A. Тогда: P(Hi|A) = P(Hi) ⋅P(A|Hi) / (∑∞ j=1 P(Hj) ⋅P(A|Hj)). [1] |
| 16 Случайная величина Случайная величина | Определение. Пусть даны измеримые пространства (Ω, F) и (R, B). Тогда измеримая относительно F функция ξ : Ω →R называется случайной величиной. Иначе говоря, функция ξ : Ω →R называется случайной величиной, если прообраз любого борелевского множества B ∈B |
| 17 Функция распределения Функция распределения | Определение. Функция распределения Fξ(x) случайной величины ξ — функция Fξ : R →R: Fξ(x) = Pξ((−∞, x)) = P(ξ < x).[1] |
| 18 Свойства функции распределения Свойства функции распределения | 1. ∀x :; 0 ≤Fξ(x) ≤1; 2. x1 < x2 ⇒Fξ(x1) ≤Fξ(x2) (монотонно неубывает); 3. limx→+∞Fξ(x) = 1, limx→−∞Fξ(x) = 0; 4. Fξ(x0 −0) = limx→x0−0 Fξ(x) = Fξ(x0) (непрерывна слева).[1] |
| 19 Дискретная функция распределения Дискретная функция распределения | Определение. Распределение ξ называется дискретным, если существует не более чем счётное множество B, такое что Pξ(B) = 1. Дискретная функция распределения имеет вид: Fξ(x) = P(ξ < x) = ∑ xi<x pi = ∑ xi<x P(ξ = xi).[1] |
| 20 Абсолютно непрерывная функция распределения Абсолютно непрерывная функция распределения | Определение. Распределение ξ называется абсолютно непрерывным, если существует f(x) ≥0 п.н. такая, что для любого борелевского множества B справедливо: Pξ(B) = ∫ B f(x)λ(dx), где f(x) — плотность распределения, λ — мера Лебега. Абсолютно непрерывная функц |
| 21 Плотность распределения Плотность распределения | pξ(x) = Fξ(x)′. Свойства плотности: 1. fξ(x) = dF(x)/dx почти всюду; 2. ∫ +∞ −∞ fξ(t), dt = 1 (нормировка).[1] |
| 22 Сингулярная функция распределения Сингулярная функция распределения | Определение. Функция распределения Fξ(x) называется сингулярной, если она непрерывна и множество точек её роста имеет нулевую меру Лебега.[1] |
| 23 Теорема о разложении функции распределения Теорема о разложении функции распределения | Теорема Лебега. Пусть ξ — случайная величина с функцией распределения Fξ(x). Тогда существуют и определены единственным образом три функции распределения Fac(x), Fs(x), Fd(x) — абсолютно непрерывная, сингулярная и дискретная соответственно, а также три чи |
| 24 Совместная функция распределения Совместная функция распределения | Определение. Функция совместного распределения случайных величин (ξ1, … , ξn) — функция F : Rn →R: F(x1, … , xn) = P(ξ1 < x1, … , ξn < xn).[1] |
| 25 Маргинальное распределение Маргинальное распределение | Определение. Частные (маргинальные) функции распределения восстанавливаются по совместной функции распределения следующим образом: lim F(x1, … , xi, … , xn) = Fi(x), i = 1, … , n. Для абсолютно непрерывного случая плотности маргинальных распределений: fξ1 |
| 26 Независимые случайные величины Независимые случайные величины | Определение. Случайные величины ξ1, … , ξn называют независимыми в совокупности, если для любого набора борелевских множеств B1, … , Bn ∈B(R): P(ξ1 ∈B1, … , ξn ∈Bn) = P(ξ1 ∈B1) ⋅… ⋅P(ξn ∈Bn).[1] |
| 27 Критерий независимости случайных величин Критерий независимости случайных величин | Критерий. Случайные величины ξ1, … , ξn независимы в совокупности ⇔ имеет место равенство: Fξ1,…,ξn(x1, … , xn) = Fξ1(x1) ⋅… ⋅Fξn(xn). В частности, в случа дискретного совместного распределения: P(ξ1 = a1, … , ξn = an) = P(ξ1 = a1) … P(ξn = an) ∀a1, … , a |
| 28 Математическое ожидание дискретной случайной величины Математическое ожидание дискретной случайной величины | Определение. Математическое ожидание случайной величины ξ, имеющей дискретное распределение со значениями a1, a2, … — сумма абсолютно сходящегося ряда: Eξ = ∑ i aipi = ∑ i aiP(ξ = ai).[1] |
| 29 Дисперсия дискретной случайной величины Дисперсия дискретной случайной величины | Определение. Число Dξ = E(ξ −Eξ)2 (центральный момент второго порядка) называется дисперсией случайной величины ξ, σ = √Dξ — её среднеквадратичным отклонением. Для дискретной случайной величины: Dξ = ∑ i (ai −Eξ)2 ⋅P(ξ = ai) = Eξ2 −(Eξ)2.[1] |
| 30 Математическое ожидание абсолютно непрерывной случайной величины Математическое ожидание абсолютно непрерывной случайной величины | Определение. Математическое ожидание случайной величины ξ, имеющей абсолютно непрерывное распределение с плотностью распределения f(x) — значение абсолютно сходящегося интеграла: Eξ = ∫ R x ⋅f(x), dx.[1] |
| 31 Дисперсия абсолютно непрерывной случайной величины Дисперсия абсолютно непрерывной случайной величины | Определение. Дисперсия абсолютно непрерывной случайной величины ξ с плотностью f(x): Dξ = E(ξ −Eξ)2 = ∫ R (x −Eξ)2 ⋅f(x), dx = Eξ2 −(Eξ)2.[1] |
| 32 Свойства математического ожидания Свойства математического ожидания | 1. Для борелевской функции g(x): Eg(ξ) = ∫R g(x)pξ(x)dx; 2. E(aξ + b) = aEξ + b ∀a, b ∈R (линейность); 3. E(ξ + η) = Eξ + Eη; 4. Если ξ ≥0 п.н., то Eξ ≥0; 5. Если ξ и η — независимые случайные величины, то E(ξη) = Eξ ⋅Eη; 6. |Eξ| ≤E|ξ|; 7. ξ ≥0 п.н., Eξ = |
| 33 Свойства дисперсии Свойства дисперсии | 1. Dξ = Eξ2 −(Eξ)2; 2. D(cξ) = c2Dξ; 3. Dξ ≥0; 4. Dξ = 0 ⇔ξ = const п.н.; 5. Если ξ и η независимы, то D(ξ + η) = Dξ + Dη, D(ξ −η) = Dξ + Dη; 6. D(ξ + c) = Dξ; 7. D(ξ + η) = D(ξ) + D(η) + 2cov(ξ, η).[1] |
| 34 Ковариация Ковариация | Определение. Ковариация случайных величин ξ и η: cov(ξ, η) = E(ξη) −Eξ ⋅Eη = E[(ξ −Eξ)(η −Eη)]. Свойства ковариации: 1. cov(ξ, ξ) = Dξ; 2. cov(ξ, η) = cov(η, ξ); 3. cov(aξ + b, η) = a ⋅cov(ξ, η); 4. cov(η + ζ, ξ) = cov(η, ξ) + cov(ζ, ξ); 5. cov2(ξ, η) ≤Dξ |
| 35 Корреляция Корреляция | Определение. Коэффициент корреляции ρ(ξ, η) случайных величин ξ и η, дисперсии которых существуют и отличны от нуля: ρ(ξ, η) = cov(ξ, η) / (√Dξ ⋅Dη). Свойства: 1. Коэффициент корреляции независимых случайных величин равен нулю; 2. |ρ(ξ, η)| ≤1; 3. |ρ(ξ, η |
| 36 Вырожденное распределение Вырожденное распределение | Определение. Случайная величина ξ имеет вырожденное распределение в точке c, если P(ξ = c) = 1, т.е. ξ = c почти наверное. При этом Dξ = 0, Eξ = c.[1] |
| 37 Равномерное дискретное распределение Равномерное дискретное распределение | Определение. Случайная величина ξ имеет равномерное дискретное распределение на множестве x1, x2, … , xn, если: P(ξ = xk) = 1/n, k = 1, … , n. Fξ(x) = ∑ xk≤x 1/n. Eξ = (1/n) ∑ k=1..n xk. Dξ = (1/n) ∑ k=1..n (xk −Eξ)2.[1] |
| 38 Распределение Бернулли Распределение Бернулли | Определение. ξ ∼Be(p), p ∈(0; 1), q = 1 −p. P(ξ = 1) = p, P(ξ = 0) = q. Eξ = p, Dξ = pq. φξ(t) = E[eitξ] = q + peit. ψξ(z) = E[zξ] = q + pz.[1] |
| 39 Биномиальное распределение Биномиальное распределение | Определение. ξ ∼Bi(n, p), p ∈(0; 1), q = 1 −p. P(ξ = k) = C k npkqn−k, k = 0, 1, … , n. Eξ = np, Dξ = npq. φξ(t) = (q + peit) n. ψξ(z) = (q + pz) n.[1] |
| 40 Геометрическое распределение Геометрическое распределение | Определение. ξ ∼Geom(p), p ∈(0; 1), q = 1 −p. P(ξ = k) = pqk−1, k = 1, 2, 3, … Eξ = 1/p, Dξ = q/p2. φξ(t) = E[eitξ] = peit/(1 −qeit). ψξ(z) = E[zξ] = pz/(1 −qz).[1] |
| 41 Распределение Пуассона Распределение Пуассона | Определение. ξ ∼Pois(λ), λ > 0. P(ξ = k) = λk/k! e−λ, k = 0, 1, 2, … Eξ = λ, Dξ = λ. φξ(t) = E[eitξ] = exp(λ(eit −1)). ψξ(z) = E[zξ] = exp(λ(z −1)).[1] |
| 42 Равномерное распределение на [a; b] Равномерное распределение на [a; b] | Определение. ξ ∼U[a, b] pξ(x) = 1/(b −a) ⋅I(x ∈[a, b]). Fξ(x) = { 0, x < a, (x −a)/(b −a), a ≤x ≤b, 1, x > b. Eξ = (a + b)/2, Dξ = (b −a)2/12. φξ(t) = E[eitξ] = (eitb −eita)/(it(b −a)).[1] |
| 43 Нормальное распределение Нормальное распределение | Определение. Случайная величина ξ имеет нормальное (гауссовское) распределение с параметрами a и σ2 (Na,σ2), где a ∈R, σ > 0, если ξ имеет следующую плотность распределения: f(x) = 1/(σ√2π) exp (−(x −a)2/(2σ2)), x ∈R. Eξ = a, Dξ = σ2. φξ(t) = E[eitξ] = ex |
| 44 Показательное распределение Показательное распределение | Определение. Случайная величина ξ имеет показательное (экспоненциальное) распределение с параметром λ > 0 (Expλ), если ξ имеет следующие плотность и функцию распределения: f(x) = λe−λx, F(x) = 1 −e−λx при x ≥0; f(x) = 0, F(x) = 0 при x < 0. Eξ = 1/λ, Dξ = |
| 45 Гамма-распределение Гамма-распределение | Определение. Случайная величина ξ имеет гамма-распределение с параметрами λ > 0 и α > 0 (Γλ,α), если её плотность: f(x) = λα/Γ(α) xα−1e−λx ⋅I(x > 0). Eξ = α/λ, Dξ = α/λ2.[1] |
| 46 Распределение Коши Распределение Коши | Определение. Случайная величина ξ имеет распределение Коши с параметрами a ∈R и σ > 0 (Ca,σ), если её плотность: f(x) = 1/π ⋅ σ/(σ2 + (x −a)2). φξ(t) = exp(ita −σ|t|). Математическое ожидание и дисперсия не существуют. [1] |
| 47 Сходимость по вероятности Сходимость по вероятности | Определение. Последовательность случайных величин ξn определенных на одном вероятностном пространстве сходится по вероятности к случайной величине ξ (ξn →ξ), если: ∀ε > 0 : P(ω : |ξn(ω) −ξ(ω)| > ε) 0. [1] |
| 48 Сходимость с вероятностью 1 (почти наверное) Сходимость с вероятностью 1 (почти наверное) | Определение. Последовательность случайных величин ξn определенных на одном вероятностном пространстве почти наверное сходится к случайной величине ξ (ξn ξ), если: P ({ω : lim n→∞ξn(ω) = ξ(ω)}) = 1.[1] |
| 49 Сходимость в среднем порядка k Сходимость в среднем порядка k | Определение. Последовательность случайных величин ξn определенных на одном вероятностном пространстве сходится в среднем порядка k к случайной величине ξ ( ξn →ξ), если: E|ξn −ξ|k 0, k ≥1. [1] |
| 50 Сходимость по распределению Сходимость по распределению | Определение. Последовательность случайных величин ξn определенных на одном вероятностном пространстве сходится по распределению к случайной величине ξ (ξn →ξ), если: Fξn(x) Fξ(x) ∀x, в которых Fξ непрерывна.[1] |
| 51 Слабая сходимость Слабая сходимость | Определение. Последовательность случайных величин ξn определенных на одном вероятностном пространстве слабо сходится к случайной величине ξ (ξn ξ), если: Ef(ξn) →Ef(ξ) ∀ непрерывной ограниченной f(x).[1] |
| 52 Неравенство Маркова Неравенство Маркова | Теорема. Если E|ξ| < ∞, то для любого x > 0: P(|ξ| ≥x) ≤E|ξ|/x. [1] |
| 53 Неравенство Чебышёва Неравенство Чебышёва | Теорема. Если Dξ существует, то для любого ε > 0: P(|ξ −Eξ| ≥ε) ≤Dξ/ε2. [1] |
| 54 Закон больших чисел в форме Чебышёва Закон больших чисел в форме Чебышёва | Теорема. Для любой последовательности ξ1, ξ2, … определенных на одном вероятностном пространстве, попарно независимых и одинаково распределённых случайных величин с конечным вторым моментом Eξ2 1 < ∞ имеет место сходимость: (ξ1 + … + ξn)/n →Eξ1.[1] |
| 55 Закон больших чисел в форме Хинчина Закон больших чисел в форме Хинчина | Теорема. Пусть ξ1, ξ2, … — последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин с конечным первым моментом E|ξ1| < ∞. Тогда: Sn/n = (ξ1 + … + ξn)/n →Eξ1. [1] |
| 56 Усиленный закон больших чисел в форме Колмогорова Усиленный закон больших чисел в форме Колмогорова | Теорема. Пусть ξ1, ξ2, … , ξn, … — независимые одинаково распределённые случайные величины, для которых существуют Eξn и Dξn, и выполнено условие ∞ ∑ n=1 Dξn/n2 < ∞. Тогда 1/n ∑ k=1..n (ξk −Eξk) 0. или P( lim n→∞ 1/n ∑ k=1..n ξk = lim n→∞ 1/n ∑ k=1..n Eξk |
| 57 Характеристическая функция случайной величины Характеристическая функция случайной величины | Определение. Характеристическая функция случайной величины ξ — функция φξ : R →C: φξ(t) = Eeitξ.[1] |
| 58 Свойства характеристических функций Свойства характеристических функций | 1. Характеристическая функция существует для любой случайной величины ξ 2. φξ(0) = 1; 3. |φξ(t)| ≤1 ∀t ∈R; 4. φξ(−t) = φξ(t) (комплексное сопряжение); 5. φξ(t) равномерно непрерывна на R; 6. φaξ+b(t) = eitbφξ(at); 7. Если ξ и η независимы, то φξ+η(t) = φξ |
| 59 Центральная предельная теорема Центральная предельная теорема | Теорема. Пусть ξ1, ξ2, … — последовательность независимых одинаково распределённых невырожденных случайных величин с Eξ2 1 < ∞ и Sn = ξ1 + … + ξn. Тогда: P ( Sn −ESn / √DSn ≤x) → Φ(x) = 1/√2π ∫ x −∞ e−u2/2, du ∀x ∈R, где Φ(x) — функция распределения станд |
Created by:
v6744k