Help
Options
Didn't know it?
click below
click below
Knew it?
click below
click below
Don't Know
Remaining cards (0)
Know
retry
shuffle
restart
0:00
Embed Code - If you would like this activity on your web page, copy the script below and paste it into your web page.
Normal Size Small Size show me how
Normal Size Small Size show me how
TVIMS
| Question | Answer |
|---|---|
| 1 σ-алгебра | Система A подмножеств Ω называется σ-алгеброй, если: 1. Ω ∈ A; 2. Если B ∈ A, то B^c ∈ A; 3. Если B_i ∈ A (i=1,2,...), то ∪_{i=1}^∞ B_i ∈ A. |
| 2 Борелевская σ-алгебра | σ-алгебра, порожденная всеми открытыми множествами на числовой прямой (или в R^n). |
| 3 Вероятностное пространство | Тройка (Ω, F, P), где Ω — пространство элементарных исходов, F — σ-алгебра подмножеств Ω (событий), P — вероятность на F. |
| 4 Вероятность | Функция P: F → R, удовлетворяющая аксиомам: 1. P(Ω)=1; 2. P(A) ≥ 0; 3. Для попарно несовместных A_i: P(∪_{i=1}^∞ A_i) = Σ_{i=1}^∞ P(A_i). |
| 5 Свойства вероятности | 1. P(∅)=0; 2. P(A^c)=1 - P(A); 3. Если A⊂B, то P(A) ≤ P(B); 4. P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B); 5. Формула включения-исключения для n событий; 6. P(∪_{i=1}^∞ A_i) ≤ Σ_{i=1}^∞ P(A_i); 7. Непрерывность вероятности: для монотонной последовательности событий A_i: P(l |
| 6 Дискретное вероятностное пространство | Пространство, в котором множество элементарных исходов Ω конечно или счетно. |
| 7 Классическое определение вероятности | Если все элементарные исходы равновозможны и A⊂Ω, то P(A)=|A| / |Ω|. |
| 8 Геометрическая вероятность | Если Ω — измеримое множество в R^n с конечной мерой Лебега (длина, площадь, объем), то вероятность события A⊂Ω определяется как P(A)=μ(A)/μ(Ω). |
| 9 Условная вероятность | Если P(B)>0, то условная вероятность A при условии B равна P(A|B)=P(A∩B)/P(B). |
| 10 Независимость двух событий | События A и B независимы, если P(A∩B)=P(A)*P(B). |
| 11 Независимость трёх событий | События A, B, C независимы, если выполняются условия: P(A∩B)=P(A)P(B), P(A∩C)=P(A)P(C), P(B∩C)=P(B)P(C) и P(A∩B∩C)=P(A)P(B)P(C). |
| 12 Независимость n событий | События A_1, ..., A_n независимы (в совокупности), если для любого набора индексов 1≤ i_1< ... <i_k ≤ n выполняется: P(A_{i1}∩...∩A_{ik}) = P(A_{i1})*...*P(A_{ik}). |
| 13 Критерий независимости событий | Если P(B)≠0, то A и B независимы ⇔ P(A|B)=P(A). |
| 14 Формула полной вероятности | Если {E_i} — разбиение Ω (E_i попарно несовместны, ∪ E_i=Ω), то для любого A: P(A)=Σ_i P(E_i)P(A|E_i). |
| 15 Формула Байеса | При условиях формулы полной вероятности и P(A)>0: P(E_i|A)=[P(E_i)P(A|E_i)] / [Σ_j P(E_j)P(A|E_j)]. |
| 16 Случайная величина | Измеримая функция ξ: Ω → R (для любого борелевского множества B⊂R прообраз ξ^{-1}(B)∈F). |
| 17 Функция распределения | Функция F_ξ(x)=P(ξ < x) (или P(ξ ≤ x), в зависимости от определения). |
| 18 Свойства функции распределения | 1. Неубывающая; 2. Непрерывна справа; 3. lim_{x→-∞} F(x)=0, lim_{x→+∞} F(x)=1. |
| 19 Дискретная функция распределения | F_ξ(x)=Σ_{x_i < x} P(ξ=x_i), где {x_i} — значения дискретной случайной величины. |
| 20 Абсолютно непрерывная функция распределения | Существует неотрицательная функция f(x) (плотность), такая что F_ξ(x)=∫_{-∞}^{x} f(t) dt. |
| 21 Плотность распределения | Функция f(x)≥0, такая что F_ξ(x)=∫_{-∞}^{x} f(t) dt. В точках гладкости: f(x)=F'(x). |
| 22 Сингулярная функция распределения | Непрерывная функция распределения, производная которой равна нулю почти всюду (относительно меры Лебега), но она не является постоянной. |
| 23 Теорема о разложении функции распределения | Любая функция распределения F может быть представлена в виде выпуклой комбинации: F = p_1 * F_abs + p_2 * F_sing + p_3 * F_disc, где p_i≥0, p_1+p_2+p_3=1, а F_abs — абсолютно непрерывная, F_sing — сингулярная, F_disc — дискретная компоненты. |
| 24 Совместная функция распределения | Для случайных величин ξ_1,...,ξ_n: F_{ξ_1,...,ξ_n}(x_1,...,x_n)=P(ξ_1 < x_1, ..., ξ_n < x_n). |
| 25 Маргинальное распределение | Распределение отдельной случайной величины из вектора (ξ_1,...,ξ_n), полученное интегрированием (или суммированием) совместного распределения по остальным переменным. |
| 26 Независимые случайные величины | Случайные величины ξ_1,...,ξ_n независимы, если для любых x_1,...,x_n: P(ξ_1<x_1,...,ξ_n<x_n)=P(ξ_1<x_1)*...*P(ξ_n<x_n). |
| 27 Критерий независимости случайных величин | ξ_1,...,ξ_n независимы ⇔ их совместная функция распределения равна произведению маргинальных: F_{ξ_1,...,ξ_n}(x_1,...,x_n)=F_{ξ_1}(x_1)*...*F_{ξ_n}(x_n). |
| 28 Математическое ожидание дискретной случайной величины | Eξ=Σ_i x_i * P(ξ=x_i), где {x_i} — значения ξ. |
| 29 Дисперсия дискретной случайной величины | Dξ=E(ξ - Eξ)^2 = Σ_i (x_i - Eξ)^2 * P(ξ=x_i) = Eξ^2 - (Eξ)^2. |
| 30 Математическое ожидание абсолютно непрерывной случайной величины | Eξ=∫_{-∞}^{∞} x f(x) dx, где f(x) — плотность. |
| 31 Дисперсия абсолютно непрерывной случайной величины | Dξ=∫_{-∞}^{∞} (x - Eξ)^2 f(x) dx = Eξ^2 - (Eξ)^2. |
| 32 Свойства математического ожидания | 1. E(c)=c; 2. E(cξ)=cEξ; 3. E(ξ+η)=Eξ+Eη; 4. Если ξ≤η, то Eξ≤Eη; 5. Если ξ и η независимы, то E(ξη)=Eξ*Eη. |
| 33 Свойства дисперсии | 1. D(c)=0; 2. D(cξ)=c^2 Dξ; 3. D(ξ+c)=Dξ; 4. Dξ≥0; 5. Если ξ и η независимы, то D(ξ+η)=Dξ+Dη. |
| 34 Ковариация | cov(ξ,η)=E[(ξ-Eξ)(η-Eη)] = E(ξη) - Eξ*Eη. |
| 35 Корреляция | ρ(ξ,η)=cov(ξ,η) / √(Dξ * Dη). Коэффициент линейной зависимости. |
| 36 Вырожденное распределение | Распределение, сосредоточенное в точке c: P(ξ=c)=1. Eξ=c, Dξ=0. |
| 37 Равномерное дискретное распределение | ξ принимает значения 1,...,n с равной вероятностью 1/n. Eξ=(n+1)/2, Dξ=(n^2-1)/12. |
| 38 Распределение Бернулли | ξ∼Be(p). P(ξ=1)=p, P(ξ=0)=1-p. Eξ=p, Dξ=p(1-p). |
| 39 Биномиальное распределение | ξ∼Bi(n,p). P(ξ=k)=C_n^k p^k (1-p)^{n-k}, k=0,...,n. Eξ=np, Dξ=np(1-p). |
| 40 Геометрическое распределение | ξ∼Geom(p). P(ξ=k)=p(1-p)^k, k=0,1,2,... (число неудач до первого успеха). Eξ=(1-p)/p, Dξ=(1-p)/p^2. |
| 41 Распределение Пуассона | ξ∼Pois(λ). P(ξ=k)=e^{-λ} λ^k / k!, k=0,1,2,... Eξ=λ, Dξ=λ. |
| 42 Равномерное распределение на [a,b] | ξ∼U[a,b]. Плотность: f(x)=1/(b-a), x∈[a,b]. Функция распределения: F(x)=0 при x<a; (x-a)/(b-a) при a≤x<b; 1 при x≥b. Eξ=(a+b)/2, Dξ=(b-a)^2/12. |
| 43 Нормальное распределение | ξ∼N(μ,σ^2). Плотность: f(x)=1/(σ√(2π)) exp{-(x-μ)^2/(2σ^2)}. Eξ=μ, Dξ=σ^2. Функция распределения не выражается в элементарных функциях. |
| 44 Показательное распределение | ξ∼Exp(λ). Плотность: f(x)=λe^{-λx} при x≥0. Функция распределения: F(x)=1-e^{-λx} при x≥0. Eξ=1/λ, Dξ=1/λ^2. |
| 45 Гамма распределение | ξ∼Γ(k,θ). Плотность: f(x)=x^{k-1}e^{-x/θ} / (θ^k Γ(k)) при x>0, где Γ(k) — гамма-функция. Eξ=kθ, Dξ=kθ^2. Функция распределения в общем виде не выражается элементарно. |
| 46 Распределение Коши | ξ∼C(a,γ). Плотность: f(x)=1/(πγ[1+((x-a)/γ)^2]). Функция распределения: F(x)=1/π * arctg((x-a)/γ) + 1/2. Математическое ожидание и дисперсия не существуют. |
| 47 Сходимость по вероятности | Последовательность случайных величин ξ_n сходится по вероятности к ξ (ξ_n →_P ξ), если ∀ε>0: lim_{n→∞} P(|ξ_n - ξ| ≥ ε)=0. |
| 48 Сходимость с вероятностью 1 (почти всюду) | ξ_n сходится к ξ почти всюду (ξ_n →_{п.в.} ξ), если P({ω: lim ξ_n(ω)=ξ(ω)})=1. |
| 49 Сходимость в среднем порядка k | ξ_n сходится к ξ в среднем порядка k>0 (ξ_n →_{L^k} ξ), если lim_{n→∞} E|ξ_n - ξ|^k=0. |
| 50 Сходимость по распределению | ξ_n сходится к ξ по распределению (ξ_n →_d ξ), если lim_{n→∞} F_{ξ_n}(x)=F_ξ(x) во всех точках непрерывности F_ξ. |
| 51 Слабая сходимость | Термин обычно синонимичен сходимости по распределению. |
| 52 Неравенство Маркова | Если ξ ≥ 0 и a>0, то P(ξ ≥ a) ≤ Eξ / a. |
| 53 Неравенство Чебышёва | Если Dξ существует, то для любого ε>0: P(|ξ - Eξ| ≥ ε) ≤ Dξ / ε^2. |
| 54 Закон больших чисел в форме Чебышёва | Пусть ξ_1,...,ξ_n — попарно независимые случайные величины с конечными дисперсиями, ограниченными одной константой: Dξ_i ≤ C. Тогда для любого ε>0: lim_{n→∞} P(|(1/n)Σ_{i=1}^n ξ_i - (1/n)Σ_{i=1}^n Eξ_i| < ε)=1. |
| 55 Закон больших чисел в форме Хинчина | Пусть ξ_i — независимые одинаково распределенные случайные величины с Eξ_i=m<∞. Тогда (1/n)Σ_{i=1}^n ξ_i →_P m при n→∞. |
| 56 Усиленный закон больших чисел в форме Колмогорова | Пусть ξ_i — независимые случайные величины с Eξ_i=0 и Σ_{i=1}^∞ (Dξ_i / i^2) < ∞. Тогда (1/n)Σ_{i=1}^n ξ_i →_{п.в.} 0. |
| 57 Характеристическая функция случайной величины | φ_ξ(t)=E[e^{itξ}], t∈R. |
| 58 Свойства характеристических функций | 1. φ(0)=1; 2. |φ(t)|≤1; 3. Равномерно непрерывна на R; 4. φ_{-ξ}(t)=φ_ξ(-t); 5. φ_{aξ+b}(t)=e^{itb}φ_ξ(at); 6. Если E|ξ|^n<∞, то φ(t) n раз непрерывно дифференцируема и φ^{(k)}(0)=i^k E[ξ^k]; 7. φ(t) — неотрицательно определенная; 8. Для независимых ξ_1,. |
| 59 Центральная предельная теорема | Пусть ξ_i — независимые одинаково распределенные случайные величины с Eξ_i=m и Dξ_i=σ^2 (0<σ^2<∞). Тогда для суммы S_n=ξ_1+...+ξ_n при n→∞: (S_n - n*m) / (σ√n) →_d η, где η∼N(0,1). Т.е. P((S_n - nm)/(σ√n) ≤ x) → Φ(x), где Φ(x) — стандартная нормальная фун |
Created by:
v6744k